函數 （數學函數）

函式，在數學中，為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x的關係就是一個函式，若以3作為此函式的輸入值，所得的輸出值便是9。

為方便起見，一般做法是以符號 f , g , h {/displaystyle f,g,h} 等等來指代一個函式。若函式 f {/displaystyle f} 以 x {/displaystyle x} 作為輸入值，則其輸出值一般寫作 f ( x ) {/displaystyle f(x)} ，讀作f of x。上述的平方函式關係寫成數學式記為 f ( x ) = x 2 {/displaystyle f(x)=x^{2}} 。函式的概念並不侷限於數之間的對映關係，例如若定義函式 Capital ⁡ ( ) {/displaystyle /operatorname {Capital} ()} 為每個國家當前的首都，那麼給予輸入值西班牙就會輸出唯一值馬德里： Capital ⁡ ( S p a i n ) = M a d r i d {/displaystyle /operatorname {Capital} (/mathrm {Spain} )=/mathrm {Madrid} } 。氣溫的分佈也能用函式表達，以時間和地點作為參量輸入，以該時該地的溫度作為輸出。表達函式有多種方式，例如解析法是用數學式表達兩個變數之間的對應關係，影象法是用座標系上的函式圖形表達兩個變數之間的對應關係，列表法用表格表達兩個變數之間的對應關係。

現代數學中，函式所有輸入值的集合被稱作該函式的定義域，而其輸出值所存在的集合稱為上域或對應域。其中值域特指該函式的輸出值集合，意即上域包含了值域，值域為上域的子集。通常輸入值稱作函式的引數或參量，輸出值稱作函式的值。函式將有效的輸入值變換為唯一的輸出值，同一輸入總是對應同一輸出，但反之未必成立。因此如 R o o t ( x ) = ± x {/displaystyle /mathrm {Root} (x)=/pm {/sqrt {x}}} 這樣的表示式並沒有定義出一個函式，因為輸出值有兩個可能。定義函式時需確定每一個輸入值只對應唯一輸出值，因此必須明確地選擇一個平方根。例如定義 P o s r o o t ( x ) = x {/displaystyle /mathrm {Posroot} (x)={/sqrt {x}}} ，亦即對於任何非負輸入值，選擇其非負平方根作為函式值。

函式可以看作機器或黑箱，通常最常見的函式的引數和函式值都是數字，其對應關係用函式式表示，函式值可以透過直接將引數值代入函式式得到。 f ( x ) = x 2 {/displaystyle f(x)=x^{2}} ， x {/displaystyle x} 的平方即是函式值。也可以將函式很簡單的推廣到與多個參量相關的情況。例如 g ( x , y ) = x y {/displaystyle g(x,y)=xy} 有兩個參量 x {/displaystyle x} 和 y {/displaystyle y} ，以乘積 x y {/displaystyle xy} 為值。將這兩個輸入看作一個有序對 ( x , y ) {/displaystyle (x,y)} 。 g {/displaystyle g} 即為以這個有序對 ( x , y ) {/displaystyle (x,y)} 作引數的函式，而函式值是 x y {/displaystyle xy} 。函式能被抽象定義為某種數學關係，由於其定義的一般性，在幾乎所有的數學分支都是基礎概念。一些領域中比如在λ演算中，函式可以是作為一個原始概念而不像在集合論般有所定義。在大部分的數學領域內，術語對應、對映、變換通常是函式的近義詞。不過某些情況這些術語可能有別的特定意思，例如在拓撲學中一個對映有時被定義成一個連續函式。

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