函数 （数学函数）

函数，在数学中，为两集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。例如实数x对应到其平方x的关系就是一个函数，若以3作为此函数的输入值，所得的输出值便是9。

为方便起见，一般做法是以符号 f , g , h {/displaystyle f,g,h} 等等来指代一个函数。若函数 f {/displaystyle f} 以 x {/displaystyle x} 作为输入值，则其输出值一般写作 f ( x ) {/displaystyle f(x)} ，读作f of x。上述的平方函数关系写成数学式记为 f ( x ) = x 2 {/displaystyle f(x)=x^{2}} 。函数的概念并不局限于数之间的映射关系，例如若定义函数 Capital ⁡ ( ) {/displaystyle /operatorname {Capital} ()} 为每个国家当前的首都，那么给予输入值西班牙就会输出唯一值马德里： Capital ⁡ ( S p a i n ) = M a d r i d {/displaystyle /operatorname {Capital} (/mathrm {Spain} )=/mathrm {Madrid} } 。气温的分布也能用函数表达，以时间和地点作为参量输入，以该时该地的温度作为输出。表达函数有多种方式，例如解析法是用数学式表达两个变量之间的对应关系，图像法是用坐标系上的函数图形表达两个变量之间的对应关系，列表法用表格表达两个变量之间的对应关系。

现代数学中，函数所有输入值的集合被称作该函数的定义域，而其输出值所存在的集合称为上域或对应域。其中值域特指该函数的输出值集合，意即上域包含了值域，值域为上域的子集。通常输入值称作函数的参数或参量，输出值称作函数的值。函数将有效的输入值变换为唯一的输出值，同一输入总是对应同一输出，但反之未必成立。因此如 R o o t ( x ) = ± x {/displaystyle /mathrm {Root} (x)=/pm {/sqrt {x}}} 这样的表达式并没有定义出一个函数，因为输出值有两个可能。定义函数时需确定每一个输入值只对应唯一输出值，因此必须明确地选择一个平方根。例如定义 P o s r o o t ( x ) = x {/displaystyle /mathrm {Posroot} (x)={/sqrt {x}}} ，亦即对于任何非负输入值，选择其非负平方根作为函数值。

函数可以看作机器或黑箱，通常最常见的函数的参数和函数值都是数字，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。 f ( x ) = x 2 {/displaystyle f(x)=x^{2}} ， x {/displaystyle x} 的平方即是函数值。也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如 g ( x , y ) = x y {/displaystyle g(x,y)=xy} 有两个参量 x {/displaystyle x} 和 y {/displaystyle y} ，以乘积 x y {/displaystyle xy} 为值。将这两个输入看作一个有序对 ( x , y ) {/displaystyle (x,y)} 。 g {/displaystyle g} 即为以这个有序对 ( x , y ) {/displaystyle (x,y)} 作参数的函数，而函数值是 x y {/displaystyle xy} 。函数能被抽象定义为某种数学关系，由于其定义的一般性，在几乎所有的数学分支都是基础概念。一些领域中比如在λ演算中，函数可以是作为一个原始概念而不像在集合论般有所定义。在大部分的数学领域内，术语对应、映射、变换通常是函数的近义词。不过某些情况这些术语可能有别的特定意思，例如在拓扑学中一个映射有时被定义成一个连续函数。

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