平方

平方和通常指一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。正整數的平方和公式如下：

1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {/displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={/frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

證明[編輯]

用數學歸納法證明如下：

n = 1 {/displaystyle n=1} 時， 1 2 = 1 × 2 × 3 6 = 1 {/displaystyle 1^{2}={/frac {1/times 2/times 3}{6}}=1} 成立

n = 2 {/displaystyle n=2} 時， 1 2 + 2 2 = 2 × 3 × 5 6 = 5 {/displaystyle 1^{2}+2^{2}={/frac {2/times 3/times 5}{6}}=5} 成立

設 n = k {/displaystyle n=k} 時成立，即 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . . + k 2 = k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 {/displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={/frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}} 成立

當 n = k + 1 {/displaystyle n=k+1} 時，

1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . . + k 2 + ( k + 1 ) 2 {/displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}

= k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) 6 + ( k + 1 ) 2 {/displaystyle ={/frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}

= ( k + 1 ) ( 2 k 2 + k ) 6 + 6 ( k + 1 ) 2 6 {/displaystyle ={/frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{/frac {6(k+1)^{2}}{6}}}

= ( k + 1 ) [ ( 2 k 2 + k ) + 6 ( k + 1 ) ] 6 {/displaystyle ={/frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}

= ( k + 1 ) ( 2 k 2 + 7 k + 6 ) ) 6 {/displaystyle ={/frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}

= ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 ) 6 {/displaystyle ={/frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}

= ( k + 1 ) [ ( k + 1 ) + 1 ] [ 2 ( k + 1 ) + 1 ] 6 {/displaystyle ={/frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}

故 n = k + 1 {/displaystyle n=k+1} 時亦成立，原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

平方和也可以指： a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {/displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}

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