基底 （地理學釋義）

在線性代數中，基(basis)（也稱爲基底）是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集，基的元素稱爲基向量。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限，就稱向量空間爲有限維向量空間，將元素的個數稱作向量空間的維數。

使用基底可以便利地描述向量空間。比如說，考察從一個向量空間射出的線性變換，可以查看這個變換作用在向量空間的一組基上的效果。掌握了，就等於掌握了對中任意元素的效果。

不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱爲無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。如果承認選擇公理，那麼可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）是相等的。一組基裏面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能將它擴充爲一組基。在內積向量空間中，可以定義正交的概念。通過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。

線性代數