公理

等于公理 令 L {/displaystyle {/mathfrak {L}}/,} 为一阶语言。对每个变数 x {/displaystyle x/,} 而言，公式

x = x {/displaystyle x=x} ，

是普遍有效的。

这表示，对于任一变数 x {/displaystyle x/,} ，公式 x = x {/displaystyle x=x/,} 可被视为是一个公理。而且，在这例子里，为了不落入含糊不清及一连串永不终止的「原始概念」之中，要不就是将 x = x {/displaystyle x=x/,} 的精确概念给先建立完全，要不就是得规范符号 = {/displaystyle =/,} 纯形式及语法的用法，只视之为一个字串，且只是由符号组成的字串。数理逻辑确实就是这么做的。

其中 ϕ t x {/displaystyle /phi _{t}^{x}} 代表以项 t {/displaystyle t/,} 来代换 ϕ {/displaystyle /phi /,} 中的 x {/displaystyle x/,} 后所得到的公式。较不严谨地，这个例子允许我们如此陈述，若知道一特定性质 P {/displaystyle P/,} 对每个 x {/displaystyle x/,} 皆成立，且 t {/displaystyle t/,} 代表著此结构内的一特定物件，则应可主张 P ( t ) {/displaystyle P(t)/,} 是对的。

非逻辑公理[编辑]

非逻辑公理是在特定理论中充当基本假设的一种公式。两个不同的结构如自然数和整数的推理可能涉及相同的逻辑公理；非逻辑公理则试图汲取对特定结构（或一套结构，如群）来讲是特殊的地方。因此，非逻辑公理，不像逻辑公理，并不是「重言式」。非逻辑公理的别称为「公设」。

几乎每个现今的数学定律都是起始于一套给定的非逻辑公理，且曾被认为在原则上，每个理论都可以如此公理化，并且公式化成纯粹逻辑公式的语言。但这已被证明是不可能的了；然而，最近此一做法又以新逻辑主义的形式复活了起来。

非逻辑公理通常在数学论述中被简称为「公理」。这并不表示它们在某种绝对的意思上是正确的。例如，在一些群里，群运算是可交换的，且这可以在加入加法公理下断言，但去掉此公理就可以很好地发展（更一般化的）群论，且甚至可以拿此公理的否定来做非可换群的研究。

因此，公理和定义了演绎系统的推理规则一起构成了形式逻辑系统的基础。

例子[编辑]

此节会给出一些完全由一套非逻辑公理（或简称公理）发展出来的数学定律。任何对此些题目的严谨处理都起始于对公理的详述。

基本理论如算术、实分析和复变分析通常都是由非公理化的方式开始介绍，但通常直接或间接地都会使用到具选择公理的策梅罗-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理，或是一些极相似的公理化集合论，例如NBG。后者是ZFC集合论的保守扩展，在集合方面与ZFC具有相同的定理，因此两者有紧密的联系。有时，稍强的理论如MK，或带有允许使用格罗滕迪克全集的强不可达基数的集合论也会被使用，但实际上，大多数数学家都可以在弱于ZFC的系统中确实地证明他们所需要的命题，比如在二阶算术中就可能做到这点。

在数学中，拓扑学的研究扩展成点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑，和所有相关领域，如同调论和同伦论。「抽象代数」也发展出群论、环、体和伽罗瓦理论。

此列表可以扩展至包含大多数的数学领域，如公理化集合论、测度论、遍历理论、机率论、表示理论和微分几何等。

皮亚诺公理是一阶算术最广被使用的「公理化」。这套公理的强度足以证明许多数论中重要事实，以及允许哥德尔建立他著名的哥德尔不完备定理。

设有一语言 L N T = { 0 , S } {/displaystyle {/mathfrak {L}}_{NT}=/{0,S/}/,} ，其中， 0 {/displaystyle 0/,} 是一个常数符号且 S {/displaystyle S/,} 是一个一元函数且满足如下公理：

1. ∀ x . ¬ ( S x = 0 ) {/displaystyle /forall x./lnot (Sx=0)}
2. ∀ x . ∀ y . ( S x = S y → x = y ) {/displaystyle /forall x./forall y.(Sx=Sy/to x=y)}
3. ( ( ϕ ( 0 ) ∧ ∀ x . ( ϕ ( x ) → ϕ ( S x ) ) ) → ∀ x . ϕ ( x ) {/displaystyle ((/phi (0)/land /forall x./,(/phi (x)/to /phi (Sx)))/to /forall x./phi (x)} ，对任一 L N T {/displaystyle {/mathfrak {L}}_{NT}/,} 中有一自由变数的公式 ϕ {/displaystyle /phi /,} 而言。

其标准结构为 N = ⟨ N , 0 , S ⟩ {/displaystyle {/mathfrak {N}}=/langle /mathbb {N} ,0,S/rangle /,} ，其中 N {/displaystyle /mathbb {N} /,} 为自然数的集合、 S {/displaystyle S/,} 为后继函数，且 0 {/displaystyle 0/,} 自然被解释为数0。

平面几何中的4+1个公设大概是最古老且最有名的一组公理。这些公理被称为「4+1」，因为近两千年来，第五公设（「通过一直线外一点恰好存在一平行线」）一直被怀疑可以从前4个公理中导出。但最后，第五公设还是被证实是独立于前4个公理。确实，可以假设通过一直线外一点会没有平行线、恰好有一平行线，或有著无限多条平行线存在。这些选择给出了不同形式的几何，其三角形的内角和会分别为小于、等于或大于180度。这几种几何分别被称为椭圆几何、欧几里得几何和双曲几何。

其研究的对象为实数。实数可唯一由一「戴德金完备有序体」（即带有上界的非空实数集合必然有最小上界）所决定（在同构意义上）。然而，若要表达这些公理的性质，需要使用到二阶逻辑。勒文海姆-斯科伦定理告诉我们若局限于一阶逻辑里来描述，任何实数的公理系统都会允许有其他的模型，有些会小于实数，有些则会大于实数。后者有些被研究于非标准分析中。

在数理逻辑中的角色[编辑]

演绎系统和一致性[编辑]

一致性的要求是最重要的。如果一公理系统，不会同时推导到命题「p」和「非p」，那么它就称为一致的系统。不一致的系统，会同时推导出「p」和「非p」的矛盾结果，在数学推论上，是不能容许的。

演绎系统和完备性[编辑]

演绎系统包括有逻辑公理的集合 Λ {/displaystyle /Lambda /,} 、非逻辑公理的集合 Σ {/displaystyle /Sigma /,} 和「推理规则」的集合 { ( Γ , ϕ ) } {/displaystyle /{(/Gamma ,/phi )/}/,} 。演绎系统的一个理想的性质为完备性。

一个系统被称为是完备的，若对所有公式 ϕ {/displaystyle /phi } ，

若 Σ ⊨ ϕ {/displaystyle /Sigma /models /phi } ，则 Σ ⊢ ϕ {/displaystyle /Sigma /vdash /phi }

亦即，对任一为 Σ {/displaystyle /Sigma /,} 「逻辑结果」的陈述，皆存在一个从 Σ {/displaystyle /Sigma /,} 的陈述出发的「演绎」。这有时被表达为「所有真的陈述都是可证的」，但必须了解这里的「真」意指「公理集合致使其为真」，而不是「在某一特定解释下为真」。哥德尔完备性定理表明了某个常用类别的演绎系统的完备性。

注意「完备性」在哥德尔不完备定理中会有著不同的意思，其表示在算术理论中没有一套「递归」且「一致」的非逻辑公理 Σ {/displaystyle /Sigma /,} 会是「完备」的，亦即总是存在一个算术陈述 ϕ {/displaystyle /phi /,} ，其 ϕ {/displaystyle /phi /,} 和 ¬ ϕ {/displaystyle /lnot /phi /,} 都不能由给定的公理中证出。

这里，一边是指「演绎系统的完备性」，一边则是指「一套非逻辑公理的完备性」。因此，完备性定理和不完备性定理，除了其名称之外，并不相互冲突。

更多的探讨[编辑]

早期的数学家视公理化几何为物理空间的模型，且明显地只能有此一模型。另一种数学系统可能存在的想法，对19世纪的数学家而言是极度困扰的，并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来。伽罗瓦证明这些努力大多都是白费的。最后，这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性，而现代代数也由此诞生了。以现在的观点来看，任意的公式集合都可以作为公理，只要这些公式并未被发现为不一致的便可。

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