级数

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 2 {/displaystyle 1+{1 /over 2}+{1 /over 4}+{1 /over 8}+{1 /over 16}+/cdots =/sum _{n=0}^{/infty }{1 /over 2^{n}}=2}

一般来说，几何级数 ∑ n = 0 ∞ z n {/displaystyle /sum _{n=0}^{/infty }z^{n}} 收敛当且仅当 | z | <</mo> 1 {/displaystyle /left/vert z/right/vert <1}</annotation> 。

调和级数[编辑]

调和级数是指通项为 1 n {/displaystyle {1 /over n}} 的级数：

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n {/displaystyle 1+{1 /over 2}+{1 /over 3}+{1 /over 4}+{1 /over 5}+/cdots =/sum _{n=1}^{/infty }{1 /over n}}

它是发散的。

p {/displaystyle p} -级数[编辑]

p {/displaystyle p} -级数是指通项为 1 n p {/displaystyle {/frac {1}{n^{p}}}} 的级数：

U p = ∑ n = 1 ∞ 1 n p {/displaystyle U_{p}=/sum _{n=1}^{/infty }{/frac {1}{n^{p}}}}

对于实数值的 p {/displaystyle p} ，当 p > 1 {/displaystyle p>1} 时收敛，当 p ≤ 1 {/displaystyle p/leq 1} 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数 ζ : p ↦ U p {/displaystyle /zeta :p/mapsto U_{p}} 是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼 ζ {/displaystyle /zeta } 函数有著名的黎曼猜想。特别地，当 p = 1 {/displaystyle p=1} 时， p {/displaystyle p} -级数即为调和级数。

裂项级数[编辑]

∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) {/displaystyle /sum _{n=1}^{/infty }(b_{n}-b_{n+1})}

收敛当且仅当数列 b n {/displaystyle b_{n}} 收敛到某个极限 L {/displaystyle L} ，并且这时级数的和是 b 1 − L {/displaystyle b_{1}-L} 。

泰勒级数[编辑]

泰勒级数是关于一个光滑函数 f {/displaystyle f} 在一点 a {/displaystyle a} 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 a {/displaystyle a} 的各阶导数值构成，具体形式为：

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {/displaystyle /sum _{n=0}^{/infty }{/frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}

这是一个幂级数。如果它在 a {/displaystyle a} 附近收敛，那么就称函数 f {/displaystyle f} 在点 a {/displaystyle a} 上是解析的。

交错级数[编辑]

具有以下形式的级数

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {/displaystyle /sum _{n=0}^{/infty }(-1)^{n}a_{n}/!}

其中所有的 a n {/displaystyle a_{n}} 非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

幂级数[编辑]

形同 ∑ a n ( x − x 0 ) n {/displaystyle /sum a_{n}(x-x_{0})^{n}} 的函数项无穷级数称为 x − x 0 {/displaystyle x-x_{0}} 的幂级数。它的收敛与否和系数 a n {/displaystyle a_{n}} 有关。

傅里叶级数[编辑]

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

例如，周期为 2 π {/displaystyle 2/pi } 的周期函数 f ( x ) {/displaystyle f(x)} 可以表示为：

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) , n = 1 , 2 , 3 , … {/displaystyle f(x)={/frac {a_{0}}{2}}+/sum _{n=1}^{/infty }(a_{n}/cos nx+b_{n}/sin nx),n=1,2,3,/ldots }

其中， a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x {/displaystyle a_{n}={/frac {1}{/pi }}/int _{-/pi }^{/pi }f(x)/cos nxdx} ， b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x {/displaystyle b_{n}={/frac {1}{/pi }}/int _{-/pi }^{/pi }f(x)/sin nxdx} ，特别的， a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x {/displaystyle a_{0}={/frac {1}{/pi }}/int _{-/pi }^{/pi }f(x)dx}

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